作为一门基础的科学，数学于我们生活之中无处不在。大到日月星辰，小到微观世界，都有数学的影子。

5月21日，求是科技基金会顾问、西湖大学理论科学研究院院长田刚教授，在求是西湖大讲堂第三讲的现场，以“庞加莱猜想与几何化”为主题，分享了二者的关系，带来了解决庞加莱猜想的数学家们的故事，并在学术分享之余，解答了在场师生们关于数学的疑问。

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对于很多高中毕业后没有继续专业学习数学的人而言，庞加莱猜想也许是一个比较陌生的词汇，但这样解释，你或许会明白它的重要性与意义所在：

2000年，克雷数学研究所选出7个数学难题，并宣称只要解出一道千禧年大奖难题，可以获得100万美元的奖励。庞加莱猜想就是其中之一，并且是唯一被解出的难题。其他剩余的六道分别为NP完全问题、霍奇猜想、黎曼假设、杨-米尔斯存在性和质量缺口、纳卫尔-斯托可方程、BSD猜想。

作为法国最伟大数学家之一，庞加莱在1904年提出了著名的庞加莱猜想，它给出了最简单的三维空间——三维球体——的拓扑刻画描述。自此以后的百年间，不断有数学家向这个猜想发起挑战，最终，在2002年，Perelman用几何化的方法解决了这个重大猜想，而且证明了三维拓扑空间都可归结到具有齐性几何结构的空间。

此次讲座，田刚教授用较为浅显的语言解释了庞加莱猜想是如何被解决，探讨了它与几何学之间的紧密联系。如果想搞清楚这是什么，先让我们把时间倒退回公元前。

说起几何，不得不提起欧几里得的著作——《几何原本》。这本巨著中共有13卷，涵盖了5条公理或公设，23个定义，467个命题。其中，五条公设中的前四条都非常基本且显而易见，但是第五条却不是那么显然。

第五条公设是通过一个已知点，能且仅能作一条直线与已知直线平行。这条到底是作为公设而独立存在，还是可以依据其他四条公设通过逻辑推理推导出来，这就是让数学家们争论了长达两千多年的“平行线理论”。

后来，这个问题当然是解决了。俄国的罗巴切夫斯基和匈牙利的雅诺什发现第五公设不可证明，并创立了非欧几何学。另外，德国数学家高斯也发现了第五公设不可证。其实非欧几何在我们实际生活中也经常出现，比如很多珊瑚的外形实际上呈非欧双曲几何的形式。

随后，在1851年，又一位伟大的数学家黎曼，创立了黎曼几何，引进了曲率的概念，他证明了曲率是个内涵不变量。所有的欧几里得几何和非欧几何都属于黎曼几何，前者是平坦曲率的情形，后者曲率为负。

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为什么要说这些？这与庞加莱猜想有什么关系？田刚教授继续分享。

伴随着几何学的进一步发展，产生了许多新的数学分支，其中一个分支是拓扑学。

拓扑学与平面几何和立体几何不同，它与研究对象的长短、大小、面积、体积等度量性质和数量关系都无关。比如在茶杯的表面放水，填满了水之后再做形变，最后就变成了环面。从拓扑学来说，虽然它们形状完全不一样，但是拓扑的性质却是一样的。

所以拓扑学是研究极为稳定的东西，严格地去定义，就是在连续形变下不变的性质。

庞加莱猜想就是著名的拓扑学研究问题之一，它给出了最简单的三维空间，即三维球面的拓扑刻画：

任何一个单连通的，闭的三维流形一定同胚于一个三维的球面。

任何的问题、或是猜想，都需要基础知识的铺垫和发展，可以说，正是因为人类对几何学、拓扑学的了解到了一定阶段，才会诞生庞加莱猜想。

要理解庞加莱猜想，首先要想象怎么理解三维球面。田刚教授通过类比二维球面相应的性质得出两种理解三维球面的方式，即一个三维空间加上一个无穷远点，或是将两个实体球沿着边界粘合。三维球面与二维球面的情形一样，也是单连通的。单连通是指任何一条闭曲线一定可以界一个圆盘，意即可收缩到一点。从第一种理解方式来看，三维球面上任意的圆圈，去掉圆圈外一个点后，剩余部分等同于我们所在的、没有孔的三维空间，因此给定圆圈可收缩到一点， 也就是说三维球面是单连通的。

要想知道一百多年来拓扑学家是怎么设法去证明庞加莱猜想的，首先要从曲面讲起。曲面是二维的，我们可以用两个数字来描述曲面上的点，而且所有曲面都可以坐落在我们生活的三维空间里，并且都是一个三维实体的边界。类似于救生圈里面充满了气之后变成一个实体，填满之后再给定一个曲面把中间填满，可以称之为实心环柄。

之前提及的三维球面第二种理解方式，即两个球体沿着边界粘合起来。而边界就是球面，也就是没有洞的环柄，球面填实之后沿着边界粘起来，在数学中称为三维球面0亏格的环柄体分解。0亏格可以理解为没有孔。实际上，任何没有边界的三维空间，都可以通过粘合两个一定亏格（孔的数量）的环柄体的整体边界而成。

怎么把边界粘合起来，方法上很有讲究。田刚教授解释道，二维球面很简单，但是如果变成一个环柄体以后，环面本身有拓扑，对应关系会变得非常复杂，而不同的粘合方法可能给出不同的空间。所以一百多年来，拓扑学家一直在试图找到一个办法，使得任何一个单连通的三维球面，可以分解成两个三维球体，也就能够解决庞加莱猜想。

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如果你没有理解什么是庞加莱猜想，没有关系，不妨来听听解决庞加莱猜想的过程中科学家们的故事。

百年间，都有哪些著名的数学家试图摘取庞加莱猜想这颗璀璨之星呢？田刚教授一一道来。

首先是J. Whitehead，他是最早研究庞加莱猜想的有影响力的数学家之一，很多拓扑学家都是他的学生或学生的学生等。1930年他宣称证明了庞加莱猜想，但随后发现错误，主动撤销了这个证明。

20世纪中叶，许多著名的数学家，诸如Bing、Haken、Morse和Papakyriakopoulos，都先后尝试去解决这个猜想，但最终他们都未成功。

这些拓扑学家虽未解决庞加莱猜想，但在其过程中，证明了新结果，贡献了许多。

伴随着数学家们的继续研究，W.Thurston提出三维流形几何化的想法。逐渐地，几何化的方法开始在对庞加莱猜想的探索中崭露头角。1982年，R.Hamilton引进了里奇曲率流，他证明了一些基础性的结果，并解决了庞加莱猜想的一些特别情形，但他无法克服一些关键技术问题。

加入解决这个百年猜想的数学家越来越多，时间来到2002年。这一年， Perelman在网上公布了自己的论文，并电邮告知多位数学家。之后半年里，他又发表了两篇系列论文。在这三篇文章中，Perelman概述了庞加莱猜想以及更一般的Thurston几何化猜想的证明，从而完成了三维空间的几何化。

Perelman的证明是在过去50年甚至更长时间微分几何中的许多重要进展上开展的，但他的证明缺少细节，验证过程也非常困难。经过几组数学家大约两年多时间的努力，终于补齐了庞加莱猜想的证明细节。

2006年和2010年，Perelman连续拒绝了世界数学家大会颁发的Fields奖和克雷研究所颁发的首个Millennium奖。田刚教授认为，Perelman是非常纯粹的一个人。所以Perelman认为如果大家能理解他的证明是对的，那么其他的认可都是不需要的。“当然不是每个人都这么想，也不可能每个人都这么想。”

田刚教授关于庞加莱猜想和科学家的故事到这里就暂时告一段落，但从庞加莱猜想衍生的其他数学枝丫仍在生长，在拓扑学和几何化的领域中，还有很多待解决的问题，比如光滑的四维庞加莱猜想还停留在待解决的那一页。

牛顿的那句站在巨人肩膀上的名言，在庞加莱猜想的研究过程中同样适用，如果没有几何学、拓扑学等数学学科的发展和进步，没有诸如Whitehead、Thurston等人的铺垫，相信Perelman也无法在2002年触摸庞加莱猜想的真相。

不论是论证猜想过程中，数学家们的孜孜以求；还是在面对难题时，求真求实的态度，都是科学道路上，必不可少的品质。田刚教授的分享不仅仅介绍庞加莱猜想和几何化是什么，更多的是将数学的思维、数学家的科研精神，借助求是西湖大讲堂传递出来，激励科研工作者们去解决更多的难题，成为探索未知的引路人。

在讲座分享结束后，在座师生向田刚教授提出了不少大家普遍关心的问题，如何学习数学？如何培养学生？学习数学天赋和努力哪个更重要？一起来看田刚教授如何回答。

Q：您平时是怎么培养学生的？对学生有什么要求？

A：首先我想在座的学生大多不是学数学的，多半还不是学理论科学的， 所以，我带学生，可能跟其他学科、尤其实验学科相比有些不一样。我比较强调学生的独立性，对于学数学的学生来说，最终他要变得独立。在学生阶段，我希望我的学生首先明白自己感兴趣的方向，我会结合他的方向建议读一些东西，然后我们大家一起讨论。自己去寻找题目，这是最好的。我从来都跟我的学生说，你不要看到一个问题就跑来问老师这个怎么做，要至少先想一个星期再说。虽然我不一定教很多技术上的东西，但是至少学生阶段不用担心他或她研究这个课题有没有意义，一旦毕业了以后，你要自己完全独立，你首先要找到题目，还要坚定信心这个题目是有意思的。另外，我做学生的时候，每天起码12个小时以上的时间是在做和数学相关的事情，比如思考、看书、听报告、上课等。所以我要求我的学生，应该是10个小时以上，做不到也要至少8个小时。我们以前总说“少壮不努力，老大徒伤悲”，学生时代是最容易接收知识的时候，在做学生期间学的东西印象也是最深刻的。

Q：您刚才讲座里面提到的庞加莱猜想，最后是拓扑学的问题，后来相当于又回到了几何，对于其他还没有解决的数学问题，我们是不是也可以把它从小的方向延伸的里面再回到大的方向里面去考虑？

A：这是对的，现在强调交叉学科，其实数学中也有很多交叉。即使是基础数学，也有很多不同方向的交叉。而且我个人认为，这也是数学研究的一个有趣的地方，如果是两个本来看上去联系不多的问题，结果却发现深刻的联系，我觉得也是我们做研究很有意思的地方。

Q：您觉得数学是每个人都能学好的吗？研究数学，需不需要非常高的天赋？如果天赋一般非常努力，能不能在研究数学这条路上获得一定的成功？

A：首先第一个问题，学好学不好，看你以什么标准来说，我觉得每个人都能学好，但不是每个人都可以做数学研究，也不需要每个人去做数学研究。我觉得掌握一定的数学知识，或者一定的逻辑思维方式还是有好处的，但是不一定要变成一个伟大的数学家。

第二个问题，我觉得兴趣和坚持是最重要的。我们做数学研究的时候知道，思考一个问题，快的人一小时想出来，跟十天想出来没有区别，甚至跟一个月想出来也没有区别，关键是你愿不愿去花这个时间思考它。我们现在研究很多问题，经常要思考很长时间，实际上这是个不断探索的过程，你要说天赋，我觉得不是完全决定因素，做研究关键是要持之以恒。

Q：其他学科可能可以用一种通俗易懂的语言，让没有相关背景的老百姓也能听懂。但是在数学这个领域，是不是几乎没有这种可能性？

A：数学有时候跟音乐有共同点，也有不同，它需要有一定的基础知识才能进入。我的母亲也学数学，她曾说过，数学像一个很漂亮的花园，花园周围有墙，你不进入这个花园，就不能欣赏到数学的美，所以要先买张门票进去。这可能是因为数学比较抽象化，因为它要考虑的是一般性的问题，所以就造成了这个客观的困难。但是我觉得去学习一个别的学科，去听别的报告的时候，都是要一点基本知识的。我们才能在听的过程中理解这个话题中有没有规律性的东西，或者它的重要性。